Blog Paradox

Im Blogartikel „Können Lichtteilchen zusammenstoßen?“ habe ich erwähnt, daß die Eigenschaften des Lichts im unendlichen definiert wurden. Immer dann, wenn man es mit unendlich zu tun hat, dann muß man sehr genau aufpassen. Man kann nicht einfach beliebige Naturgesetze, die im endlichen definiert wurden, ins unendliche übertragen. Dann können ganz merkwürdige Effekte auftreten. Über solche Effekte möchte ich in diesem Artikel berichten.

Die Zahl unendlich

Das Zeichen „∞“ wird für die Zahl unendlich verwendet. Man kann zwar damit addieren und subtrahieren, aber nicht alle Berechnungen sind definiert, denn es gilt: 3+∞=∞, ∞−4=∞, 5−∞=−∞, ∞+∞=∞, aber ∞−∞ ist nicht definiert. So ähnlich ist es auch mit der Multiplikation. Es gilt: 3*∞=∞, ∞/4=∞, 5/∞=0, ∞*∞=∞, aber ∞/∞ ist nicht definiert. Man kann also mit ∞ nicht rückwärts rechnen.

Verschiedene Rechenregeln, die im endlichen funktionieren, funktionieren im unendlichen nicht mehr. So gilt zum Beispiel 8+4=4+8=12. Wenn man mehrere Zahlen addiert, dann kann man die Reihenfolge der Zahlen beliebig vertauschen, ohne daß sich das Rechenergebnis verändert. Das funktioniert nicht immer, wenn unendlich viele Zahlen addiert werden. Ich gebe Ihnen ein Beispiel:

Eine Voraussetzung dafür, daß unendlich viele Zahlen addiert werden können, muß die Eigenschaft sein, daß die Zahlen, die addiert werden müssen, immer näher an 0 liegen, je größer der Index der Summanden ist. Man kann diese Formel auf 2 Arten berechnen. Dabei werden immer 2 benachbarte Zahlen addiert und eine neue Summe berechnet. Einmal so, daß die Zahlen immer größer werden und einmal so, daß die Zahlen immer kleiner werden:

Auch wenn eine solche Zahl nicht exakt berechnet werden kann, so nähert man sich mit der 1. Formel von unten an die exakte Zahl an, da immer eine Zahl addiert wird und mit der 2. Formel nähert man sich von oben an die Zahl an, da immer eine Zahl subtrahiert wird. Das sieht dann so aus:

Der exakte Wert muß zwischen 0,671 und 0,716 liegen. Jetzt werde ich in der Formel eine Vertauschung der Summanden durchführen.

Die Summe für x werde ich jetzt umsortieren. Ich nehme immer einen positiven und 2 negative dann wieder 1 positiven und 2 negative usw. Da es eine unendliche Summe ist, kommt jede Zahl genau einmal vor. Das Ergebnis sieht dann so aus:

Also habe ich durch die von mir gewählte Vertauschung der Summanden die Zahl mal eben halbiert. Wie ist das möglich? Die einzelnen Summanden gehen zwar gegen 0, wenn i nach ∞ geht, aber zu langsam. Würde man die positiven Terme zusammenfassen, dann wäre die Summe +∞ und würde man die negativen Terme zusammenfassen, dann wäre die Summe −∞. Da ∞−∞ nicht definiert ist, könnte jeder beliebige Wert herauskommen.

Größer als unendlich

Kann es etwas geben, was größer als unendlich ist? Vielleicht denken Sie nein. Das würde man erwarten. Schließlich gilt das zumindest für Zahlen. Aber unendlich ist nicht gleich unendlich, denn da gibt es verschiedene Sorten. Man unterscheidet zwischen abzählbar unendlich und überabzählbar unendlich. Wenn Sie die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … zählen würden und nie aufhören zu zählen, dann zählen Sie bis nach unendlich. Eine Zahlenmenge, die man abzählen kann, und in der jede Zahl vorkommt, ist abzählbar unendlich. Die rationalen Zahlen gehören zu dieser Gruppe. Man kann sie abzählen. Dazu nimmt man ein quadratisches Feld. Es gibt eine Überschrift mit den Zahlen 1, 2, 3, 4, … bis nach unendlich und links eine Spalte mit den Zahlen von 1, 2, 3, 4, … bis nach unendlich. An den Stellen, wo sich die Titel der Zeilen und der Spalten treffen, wird ein Bruch eingetragen, in dem der Spaltentitel durch den Zeilentitel geteilt wird:

Dann fange ich an zu zählen. Diagonal. Zuerst die Brüche, bei denen die Summe aus Zähler und Nenner =2 sind. Dann die, bei denen die Summe aus Zähler und Nennen =3 sind, dann die mit der Summe 4, der Summe 5, usw. Immer von links nach rechts. Dadurch bekomme ich alle positiven rationalen Zahlen. Ich muß nur die Zahlen, die man kürzen kann, weglassen, da sie schon mal gezählt worden sind. Ich bekomme dann diese Liste von Zahlen:

Mit diesen Zahlen kann man noch ein paar andere Spielereien machen. Jede Zahl, die größer als 1 ist, kann geschrieben werden als x/y. Dann liegt y/x zwischen 0 und 1. Genauso kann man sagen, jede Zahl, die zwischen 0 und 1 liegt, kann geschrieben werden als y/x. Dann ist x/y größer als 1. Also gibt es zwischen 0 und 1 genauso viele rationale Zahlen wie zwischen 1 und unendlich.

Wenn ich eine rationale Zahl habe und dazu eine ganze Zahl addiere, dann ist das auch wieder eine rationale Zahl. Also liegen zwischen 0 und 1 genauso viele Zahlen wie zwischen 1 und 2. Das sind genauso viele Zahlen wie zwischen 2 und 3 oder zwischen 3 und 4 oder zwischen 4 und 5 usw. Bis ins unendliche.

Mengenvergleiche sind im unendlichen ziemlich problematisch. Trotzdem gibt es ein unendlich, daß viel größer ist. Es nennt sich überabzählbar unendlich. Die irrationalen Zahlen haben diese Eigenschaft. Stellen Sie sich vor, man könnte alle irrationalen Zahlen zwischen 0 und 1 zählen. Dazu schreibt man einfach den unendlichen Dezimalbruch auf:

0,43658134618376437184768714758486184684384781743868734874376834…
0,76735173454351468756474768758487847578475878784787932898786787…
0,48438768348643764769843768738673867436847894389436848373484874…
0,75843438743874783476437587583758379857486764376834768746743604…
0,84543563458843758437843768437684768475847684768437684376834448…
0,98758435834583743876737683874684764386748776847643404034307643…
0,48734573476ß34674367346743764376848767644306497646795766746768…
0,37693496727695476957609558794879459689565467095876954879875497…
0,75834764764790576674969547695586954879450780956458674557604965…
0,46045978987548768457684576845768476874986867347684768776878648…
0,65346576576365761366574351065437561657435035035634563456746575…
0,16508165410746574356145643654365356394593649561356456437567459…
0,13410513453654650456056405356475647516765345659354954054563054…
0,31402435610365347654365346571465734675430165736571353534564055…
0,10358163456734651965419345601356456456943594569356363485435649…
0,52354348658346408654368465284368436582436583468543568468243654…

Ich habe hier in dieser Liste einige Ziffern in 3 verschiedenen Farben markiert. Aus jeder Zahl wähle ich eine Ziffer aus. Würde ich aus diesen Ziffern eine neu Zahl zusammensetzen, dann müßte diese Zahl auch irgendwo in der Liste vorkommen. Hier meine 3 Beispiele:

0,4644347678675560…
0,7875353347774435…
0,3874377465064577…

Jede dieser Zahlen enthält von allen Zahlen der Liste eine Ziffer an der gleichen Stelle. Wenn ich aber diese Zahlen hernehme und an jeder Stelle die Ziffer verändere, dann kommt diese Zahl in der Liste nicht vor. Hier einige Beispiele für grün:

0,5755458789786671…
0,5878804469809027…
0,8860886444450389…
0,3533236567564459…
0,3210880887441003…

Keine dieser Zahlen taucht in der Liste auf. Ich kann unendlich viele Zahlen konstruieren, die in der Liste nicht vorkommen, denn ich habe an jeder Stelle 9 Auswahlmöglichkeiten. Ich kann die unendliche Liste von Zahlen mit den neu gefundenen Zahlen kombinieren. Immer abwechselnd, mal eins aus der alten Liste, mal ein neues. Dieses Vorgehen kann ich bei jeder Farbe anwenden. Das heißt, bei jeder Strategie zur Erzeugung einer Zahl, die in der Liste vorkommen muß. Jedes Mal entstehen unendlich viele Zahlen, die in der Liste nicht vorkommen. Immer, wenn ich die neu gefundenen Zahlen an die Liste drangehängt habe, kann ich mit dem Verfahren von vorne anfangen und finde immer neue Zahlen, die in der Liste noch nicht vorkommen.

Mengenvergleiche

Sie haben sicher eine gewisse Ahnung, was ein Rand ist. Zum Beispiel ein Tellerrand. Er ist die Grenze zwischen dem Bereich Teller und außerhalb und ist ein Kreis. Der Rand könnte aber auch etwas komplizierter aussehen. Wer ein gutes Schwert schmieden will, der faltet dieses Schwert. Der Stahl wird platt geschmiedet, dann zusammengefaltet und wieder platt geschmiedet, zusammengefaltet und platt geschmiedet. Dadurch entsteht eine sehr harte Struktur. Die Oberfläche des Stahls ist der Rand. Bei jedem Faltungsvorgang kommt ein Teil des Randes nach innen und das innere wird immer kleiner, so daß das Schwert zum Schluß nur noch aus dem Rand des Stahls besteht.

So ähnlich funktioniert das mit den rationalen Zahlen und den irrationalen Zahlen. Der Abstand zwischen rationalen Zahlen und irrationalen Zahlen ist so klein, daß man in jedem beliebig kleinen Intervall größer als 0 sowohl irrationale Zahlen, als auch rationale Zahlen findet. Der Rand der rationalen Zahlen besteht daher aus allen rationalen Zahlen und allen irrationalen Zahlen. Der Rand der irrationalen Zahlen besteht aus allen rationalen Zahlen und allen irrationalen Zahlen.

In der Mathematik gibt es eine Möglichkeit, unendliche Mengen miteinander zu vergleichen. Dazu muß man die Zahlen in einem bestimmten Bereich durch offene Gebiete überdecken. Das sind Gebiete, bei denen der Rand entfernt wurde. Zum Beispiel das Intervall zwischen den Zahlen 0 und 1, bei denen die 0 und die 1 entfernt wurden.

Ich betrachte jetzt die rationalen Zahlen zwischen 0 und 1. Die kann man abzählen. Die ersten Zahlen habe ich ja schon aufgeschrieben:

Dies werde ich jetzt mit offenen Menge überdecken:

Die 1. Menge hat die Länge 0,5. Jede nachfolgende Menge hat eine Länge die halb so lang ist wie die vorhergehende. Diese Mengen überschneiden sich zum Teil. Ich kann es also nicht exakt berechnen. Aber ich kann es abschätzen:

Ich hätte aber auch ein beliebig kleines anderes Intervall für die erste Menge nehmen können, das beliebig nahe an 0 liegt. Zum Beispiel 0,5 tausendstel. Dann wäre nur 1 tausendstel herausgekommen. Aus diesem Grund ist das Maß der rationalen Zahlen =0 und das Maß der irrationalen Zahlen =1. Nur weil die rationalen Zahlen abzählbar sind, kann ich eine Berechnung mit Hilfe einer abzählbaren Summenformel durchführen und ein mathematisches Rechenergebnis herausbekommen, das beliebig nahe bei 0 liegt.

Überabzählbar unendlich ist daher viel größer als abzählbar unendlich.

Polstellen

Wenn man in der Mathematik Formeln verwendet, dann kann es manchmal passieren, daß man sie durcheinander teilen muß. Weil in den Formeln bestimmte Werte =0 sein können, muß man an dieser Stelle aufpassen. Denn wenn man durch 0 teilt, dann entsteht dabei unendlich. Eine solche Stelle nennt man Polstelle. Die Formel 1/x hat bei x=0 eine Polstelle. tan(x)=sin(x)/cos(x). Deshalb hat tan(x) überall dort, wo cos(x) eine 0-Stelle hat, eine Polstelle. Das Formelergebnis geht dann nach ∞.

Wenn man mit ∞ arbeitet, können an dieser Stelle ganz merkwürdige Dinge passieren. So wie bei dieser Formel:

Diese Formel ist ein Musterbeispiel für Bösartigkeit. Der cos ist eine periodische Funktion. Sie pendelt immer zwischen –1 bis +1. Geht x gegen 0, dann geht 1/x gegen ∞. Deshalb pendelt der cos unendlich mal zwischen –1 bis +1 hin und her. Da ich dieses Ergebnis auch noch durch x teile, nimmt F(x) in der Nähe von 0 alle Werte von –∞ bis +∞ an. Eine solche Funktion ist in der Nähe von 0 graphisch nicht mehr darstellbar.

In dieser Darstellung sieht es so aus, wie ich es beschrieben habe. Wenn ich in der Mitte aber eine Vergrößerung durchführe, dann sieht das Ergebnis so aus:

Ich habe die horizontale Achse gestreckt, dadurch wurde das Bild auseinandergezogen. Die vertikale Achse wurde gestaucht. Jetzt sind die Schwingungen in der Mitte deutlicher. Die Kurve hat ganz merkwürdige Zacken. Sie sind mal kurz, mal lang. Der cos schwankt in diesem Bereich so häufig hin und her, daß ich nicht genügend Berechnungspunkte habe, um die korrekte Schwingung anzeigen zu können.

Unendliche Physik

Im unendlichen können die verrücktesten Dinge passieren. Es ist deshalb immer problematisch die Erkenntnisse aus dem endlichen ins unendliche zu übertragen. Was im endlichen gilt, kann im unendlichen falsch sein.

Das Entropiegesetz lautet:

In der praktischen Anwendung nimmt die Entropie immer zu.

Das heißt: Aus einem geordneten Zustand wird immer ein ungeordneter Zustand.

Die Begründung lautet: Die geordneten Zustände sind statistisch gesehen so selten, daß sie praktisch nicht vorkommen.

In der Praxis sieht das so aus, daß unter Ausnutzung der Naturgesetze ein geordneter Zustand erzeugt wird, den man dann sich selbst überläßt. Weil die Ordnung so selten ist, entsteht dabei Unordnung.

Dieses Gesetz darf man aber nicht aufs Universum anwenden. Ganz abgesehen davon, daß man nicht künstlich einen absolut geordneten Ausgangszustand erzeugen kann, wurden für die praktische Anwendung sämtliche Ordnungszustände als unwahrscheinlich aus dem System entfernt. Die Wahrscheinlichkeit ist aber größer als 0, daß so ein Zustand zufällig entstehen kann. In Wirklichkeit pendelt die Entropie zwischen verschiedenen Ordnungszuständen hin und her, so daß man im Universum eine andere Regel verwenden müßte:

Im Universum nimmt die Entropie genauso häufig zu, wie sie abnimmt.

Wir können über einen bestimmten Punkt hinaus keine Sterne mehr beobachten. Das bedeutet nicht, daß das Universum dann zu Ende ist, sondern daß die Möglichkeiten, in die Ferne zu gucken, begrenzt ist. Das Licht breitet sich in allen Richtungen aus. Es kommt nicht nur zu uns. Also muß irgendwann eine so große Entfernung erreicht sein, bei der das Licht so schwach geworden ist, daß selbst die Atome der empfindlichsten Meßgeräte nicht mehr durch das Licht beeinflußt werden. Aus diesem Grund sieht das Universum endlich aus. Aber es muß nicht endlich sein.

Was im unendlich Großen gilt, gilt auch im unendlich Kleinen. Sind die Objekte zu klein, dann können keine Massen mehr korrekt gemessen werden. Es gibt Elektronen, Protonen und Neutronen. Wenn ein Elektron mit einem Proton kollidiert und die Geschwindigkeit ist nicht zu groß, dann entsteht daraus ein Neutron. Sie sind die Bestandteile der Materie.

Es gibt aber auch Antimaterie. Das Gegenstück zum Elektron ist das Positron, das Gegenstück zum Proton ist das Antiproton und das Gegenstück zum Neutron ist das Antineutron.

Theoretisch zumindest (siehe Wikipedia: Elektron, Proton, Neutron, Positron, Antiproton, Antineutron).

Aber nach den Kollisionen im Teilchenbeschleuniger wurden sowohl Positronen gefunden als auch Antiprotonen. Man hat aber keine Antimaterie zusammenstoßen lassen. Daher könnte die Realität auch etwas anders aussehen.

Was passiert, wenn sich nach einer Kollision ein Elektron mit einem Neutron vereinigt? Könnte man dieses Objekt von einem Antiproton unterscheiden?

Man könnte ja die Masse messen. Die Masse des Protons ist 1836,15267245 Mal so groß wie die Masse eines Elektrons. Das müßte auch die Masse des Antiprotons sein. Ein Proton + 2 Elektronen müßte dann die 1838,15267245 fache Masse wie ein Elektron haben. Die Zahlen werden auf 8 Stellen hinter dem Komma genau angegeben. Das sieht danach aus, als ob wir mit ungeheuer großer Genauigkeit messen könnten.

Deshalb habe ich im Internet nach Aussagen über die Meßungenauigkeit der Protonenmasse nachgeschaut. Nach langer Suche fand ich auf einer Internetseite vom PresseEcho folgenden Satz: „Moderne Messungen gehen indes ab der 2. oder gar 1. Stelle nach dem Komma auseinander.“ Auf Grund des Kontextes bedeutet das, daß der Meßfehler in der Größenordnung von 1% liegt. Das bedeutet, daß die Meßgenauigkeit nicht ausreicht, um die Masse eines Neutrons + Elektron von der Antiprotonenmasse zu unterscheiden. Das kann also mit einem Antiproton verwechselt werden. Der Meßfehler muß kleiner als 0,02% sein, um diese beiden Sachen voneinander unterscheiden zu können. Wenn sich jetzt noch ein Positron mit dem Neutron und dem Elektron kollidiert, dann erhält man ein Objekt mit der 1839,15267245 fache Masse eines Elektrons. Das könnte man auch nicht von der Masse eines Neutrons unterscheiden.

Vielleicht könnte man das ganze Atom nur aus Elektronen und Positronen zusammensetzen. Der Atomkern besteht dann aus einer riesigen Ansammlung von Elektronen-Positronen-Paaren, die ladungsneutral sind, von denen sich einige Elektronen an der Oberfläche abgespalten haben, die den Atomkern umkreisen. Sind wir überhaupt in der Lage, den Unterschied zwischen dieser Möglichkeit und der offiziellen Theorie meßtechnisch zu erfassen?

Theorien im Unendlichen sind immer ein Problem, da irgendwann die experimentelle Überprüfbarkeit nicht mehr funktioniert. Mit mathematischen Formeln kann man alles Mögliche berechnen. Auch jede Menge Unsinn. Die Widerspruchsfreiheit einer Theorie sagt nur aus, daß eine Physik möglich ist, bei der diese Theorie gilt. Aber man kann sie nicht beweisen. Theorien im unendlichen sind daher reine Religion und haben nichts mehr mit Wissenschaft zu tun.

Herzliche Grüße von Bernhard Deutsch