Blog Paradox

Ich habe mich lange Zeit vor der Untersuchung der Energie gedrückt. Das lag an einer teilweise schwammigen Beschreibung der Energieerhaltung. So können nach der klassischen Theorie verschiedene Energieformen in andere umgewandelt werden. Deshalb war es beim unelastischen Stoß nicht notwendig, daß es eine kinetische Energieerhaltung gibt. Aber in der Relativitätstheorie ist durch die Einführung der relativistischen Masse eine kinetische Energieerhaltung entstanden. Im Blogartikel „Die Masse in der Relativitätstheorie“ habe ich gezeigt, daß der relativistische Impulserhaltungssatz korrigiert werden müßte. Kann unter diesen Bedingungen die kinetische Energieerhaltung aufrechterhalten werden, da in I⁰ die klassische Impulserhaltung gelten müßte? In diesem Artikel will ich Ihnen zeigen, wie die Energie funktioniert.

Die Energieerhaltung der klassischen Mechanik

In dem Buch „Physik – Gleichungen und Tabellen“ von Dietmar Mende und Günter Simon habe ich auf Seite 74 folgende Formeln gefunden:

1. Potentielle Energie (Energie der Lage)
2. Potentielle Energie einer gespannten Feder
3. Kinetische Energie (Energie der Bewegung)
4. Energieerhaltung der Mechanik:
   In einem abgeschlossenen System ist die Summe aus potentieller und kinetischer Energie konstant, d. h., wenn nur konservative Kräfte wirken, ist nur die Umwandlung einer Energieform in die andere möglich.

Begriffserklärung:

Doch wie kommt man zu diesen Formeln? Hinter dem Begriff Energie stand in Klammern: „Arbeitsfähigkeit“. Also lohnt es sich, die Definition der Arbeit zu betrachten. Dabei ist zu beachten, daß als Arbeit nur die Überwindung der Schwerkraft betrachtet wird. Wenn sich ein Objekt nicht senkrecht nach oben oder nach unten bewegt, dann wird nur der Anteil der Bewegung betrachtet, der eine Höhe überwindet. Mit Hilfe des Integrals

kann man die Formeln aus 1. und 3. herleiten. Siehe Ergänzungen. Der Wert cos(α) wird aber nur bei der Potentiellen Energie der Lage benötigt. Die kinetische Energie ist unabhängig von der Richtung und in diesem Fall kann cos(α)=1 gewählt werden. Dann fällt dieser Wert weg. Die Formel für die potentielle Energie der gespannten Feder (Fall 2.) ist das Ergebnis von Messungen und Naturbeobachtungen. Die Fälle 1. und 3. sind Konstruktionsvorschriften für die Berechnung.

Der Zusammenstoß 2er Objekte

Was haben diese Gesetze, die sich aus der Fallbeschleunigung entwickelt haben, mit dem Zusammenstoß 2er Objekte zu tun, die sich mit konstanter Geschwindigkeit aufeinander zu bewegen und zusammenstoßen?

So lange die Objekte aufeinander zu fliegen wirken keine Kräfte. Die Kräfte fangen erst dann an zu wirken, wenn sich die Objekte berühren. Und jetzt gibt es eine kleine Strecke, in der sich die Geschwindigkeit beider Objekte verändert, bis beide die gleiche Geschwindigkeit haben.

Beim unelastischen Stoß wird dann aus beiden Objekten ein gemeinsamer Klumpen. Beim elastischen Stoß werden die Energien wie bei einer elastischen Feder aufgenommen und für einen Augenblick gespeichert. Dabei entstehen in dem Objekt so große Spannungen, daß sie sich wieder abstoßen. Beim teilelastischen Stoß werden die Elastizitätsgrenzen überschritten, so daß ein Teil der Energie eine Verformung bewirkt und ein anderer Teil die Objekte abprallen läßt. Bei der Zertrümmerung wird ein Teil der Energie für eine dauerhafte Verformung umgewandelt, die so groß ist, daß dabei mindestens ein Teil auseinanderbricht. In diesem Fall findet keine Angleichung der Geschwindigkeit beider Objekte statt.

Während die Objekte aneinander stoßen, entstehen Kräfte. Und da gibt es eine ganz wichtige physikalische Regel. Jede Kraft erzeugt eine gleich große Gegenkraft. Und diese Kräfte wirken, so lange sie sich berühren und unterschiedliche Geschwindigkeiten haben. Also während des Bremsvorgangs beim Zusammenstoß.

Die Zeiten, in denen die Kräfte wirken sind gleich und die Kräfte, die auf die Objekte wirken sind ebenfalls gleich. Würde man das Integral der Kraft über die Zeit bilden, dann bekommt man den Impuls. Bei gleicher Zeitdauer und gleich großen Kräften entsteht ein gleich großer Impuls in entgegengesetzten Richtungen.

Gibt es die Erhaltung der Kräfte, dann muß es auch die Erhaltung des Impulses geben. Gibt es die Erhaltung des Impulses, dann muß es auch die Erhaltung der Kräfte geben.

Was ist mit der Energie? Die Energie ist das Integral der Kraft über den Weg. Selbst dann, wenn man nur die relative Geschwindigkeitsänderung bei der Berechnung verwenden würde, müßte ein Zusammenstoß auch dann funktionieren, wenn beide Objekte unterschiedliche Massen haben.

Wenn ein Objekt eine höhere Geschwindigkeit hat als das andere, dann legt es in der gleichen Zeit einen anderen Weg zurück. Erst dann, wenn beide die gleiche Geschwindigkeit haben, legen sie gleiche Wege zurück. Die Geschwindigkeit ist der zurückgelegte Weg geteilt durch die Zeit. Wenn es eine kinetische Energieerhaltung gäbe, dann müßte auch das Integral der Kraft über den Weg gleich sein.

Das geht natürlich dann, wenn zu jedem Zeitpunkt der Kollision die Geschwindigkeit der Objekte gleich ist, nur die Richtung ist unterschiedlich. Betrachte ich die Geschwindigkeitsdifferenz vor und nach dem Stoß und nicht die absolute Geschwindigkeit, dann gilt das natürlich auch wenn beide Objekte die gleiche Masse haben.

Das Ganze funktioniert nicht mehr, wenn beide Objekte unterschiedliche Massen haben. Nimmt die Masse zu, dann wird der Impuls größer. Also muß die Geschwindigkeit kleiner werden, damit beide Impulse gleich sein können.

Das bedeutet: Beide Objekte legen während des Zusammenstoßes bis zur Geschwindigkeitsanpassung unterschiedliche Wege zurück, sind aber gleich großen Kräften ausgesetzt. Also muß das Integral der Kräfte über den Weg unterschiedlich sein. Dann gibt es aber keine kinetische Energieerhaltung.

Aus diesem Grund gab es in der klassischen Theorie keine kinetische Energieerhaltung. Und sie hat wunderbar funktioniert.

Die Integralrechnung der Kraft einmal über die Zeit und einmal über den Weg garantiert, daß Impulserhaltung und kinetische Energieerhaltung nicht gleichzeitig funktionieren können. Es sei denn, die Kraft ist immer =0. Aber dann wäre die Relativitätstheorie eine Theorie, in der es keine Beschleunigung geben kann. Und das ist ziemlich unrealistisch.

Was ist mit der Formel e=m*c²?

Eine solche Formel bedeutet, daß die Energie ein konstantes Vielfaches der Masse ist. Also habe ich mir überlegt, welche Formeln man erhalten würde, wenn man E=m*A voraussetzt, wobei A eine beliebige konstante Größe ist.

Wenn man F=m*a verwendet, a ist die Beschleunigung, dann erhält man folgende Formeln:

Der Parameter a ist ein freier Parameter, der bei der Integration der Formel entstanden ist. Eine solche Formel wäre ziemlich unsinnig.

Wenn man F als die Ableitung des Impulses über die Zeit verwendet, erhält man folgende Formeln:

Der Parameter a ist ein freier Parameter, der bei der Integration der Formel entstanden ist. Hier brauche ich nur A=c² zu setzen, schon erhalte ich die bekannten relativistischen Formeln. Das funktioniert aber nur, wenn die Masse unabhängig von der Richtung geschwindigkeitsabhängig ist. Dann gibt es aber keine Impulserhaltung, denn ich habe die Formel für die Impulserhaltung korrigieren müssen. Das einzige Inertialsystem, in dem die Masse bei gleicher Geschwindigkeit unabhängig von der Richtung gleich ist, ist das Inertialsystem, in dem sich die Masse nicht verändert, wenn ein Objekt seine Geschwindigkeit ändert.

Herzliche Grüße von Bernhard Deutsch